等额本息计算公式推导

　　等额本息计算公式推导，等额本息还款法即把按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中，每个月的还款额是固定的，但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。

　　等额本息计算公式推导

　　等额本息是买房按揭贷款时最常用的一种还款方式，其意义从字面就可以理解，就是每期还款的本金加利息之和相等。我们在计算每期应还本金和利息时，在Excel中可以方便的使用函数PMT（rate，nper，pv）计算每期本金利息和；PPMT（rate，per，nper，pv）计算每期本金（rate为还款周期利率，per为还款期次，nper为还款总期数，pv为贷款总额）。

　　函数很好用，但总觉得不够直观，我们看不到从本金、利率、期数算出结果的过程。其实通过在高等数学中的等比序列知识，不难把计算公式推导出来。下面为推导过程：

　　等额本息还款公式推导

　　设贷款还款方式为等额本息（按月还）。P为整笔贷款本金，M为贷款总月数（期供总数），R为月利率，V为每期应还本金利息和；Pn为第n期应还本金，Vn为第n期应还本息和。有：

　　第1期应还本息和=P1+（P1+P2+。+PM）*R

　　第2期应还本息和=P2+（P2+P3+。+PM）*R

　　第3期应还本息和=P3+（P3+P4+。+PM）*R

　　。

　　第M期应还本息和=PM+PM*R

　　第一步推论：Pn=P1*（1+R）^（n-1）

　　按照等额本息的定义，每期应还本金和利息总和相等。则有：

　　V1=V2=V3=V

　　由V1=V2，

　　P1+（P1+P2+。+PM）*R=P2+（P2+P3+。+PM）*R

　　=》P1+P1*R+（P2+P3+。+PM）*R=P2+（P2+P3+。+PM）*R

　　=》P1+P1*R=P2

　　=》P2=P1*（1+R）

　　同理，由V2=V3，

　　=》P3=P2*（1+R）=P1*（1+R）^2

　　由V（n-1）=Vn，

　　=》Pn=P1*（1+R）^（n-1）

　　第二步推论：P1=P*R/（1+R）^M-1）

　　再由P=P1+P2+。+PM推导，得：

　　P=P1+P2+。+PM=P1+P1*（1+R）+P1*（1+R）^2+。+P1*（1+R）^（M-1）

　　注意上述公式是一个等比序列求和问题。先复习下等比序列基础知识：

　　有数列a1，a2，a3，。，an，。

　　如果a2/a1=a3/a2=。=an/a（n-1）=。=q，q≠0，则这个数列为等比数列。

　　等比数列求和公式：

　　Sn=a1*（1-q^n）/（1-q）

　　结合等比数列求和公式，此处q=1+R，n=M，得

　　P=P1+P2+。+PM=P1+P1*（1+R）+P1*（1+R）^2+。+P1*（1+R）^（M-1）

　　=P1*（1-（1+R）^M）/（1-（1+R）

　　=P1*（1+R）^M-1）/R

　　求P1，得：

　　P1=P*R/（1+R）^M-1）

　　第三步：结论

　　由第二步P1公式，代入Pn=P1*（1+R）^（n-1），得：

　　Pn=P*R*（1+R）^（n-1）/（1+R）^M-1）

　　这就是每期应还的本金。每期应还的本息和为：

　　V=V1

　　=P1+P*R

　　=P*R/（1+R）^M-1）+P*R

　　=P*R*（1/（1+R）^M-1）+1）

　　=P*R*（1+R）^M/（1+R）^M-1）